Как сокращаются степени в дробях

Сокращение и расширение дроби:

Как сокращаются степени в дробях

Сокращение:Расширение: ,k  0

Сложениеи вычитание дробей:

с одинаковымизнаменателями:;с разными знаменателями:.

Умножениеи деление дробей:

Умножениедроби на дробь:;
дроби на число:;
Делениедроби на дробь:;
числа на дробь:;
дроби на число:.

Примечание.После умножения и деления дробьцелесообразно сократить.

Пропорции ипропорциональности

Пропорция есть равенство двух отношений:
, где a, d – крайние члены, b, c – средние члены пропорции
Основное свойство пропорции:.
Нахождение членов пропорции:;;;.

Другиесвойства пропорции:

;;;;;.

Представлениепропорциональностей.

Прямая пропорциональность(прямая пропорциональная зависимость):или .
Обратная пропорциональность(обратная пропорциональная зависимость):или ;
где с – коэффициент пропорциональности

Средниезначения Табл. 11

Наименование среднегодля двух чиселдля nчисел
Среднее арифметическое
Среднее геометрическое
Среднее гармоническое

Золотоесечение

2. Степени, корни, многочлены

Возведениев степень

Обозначение: , гдеb– основаниестепени,

n– показатель степени,

c– значениестепени,

-степень.

Частныеслучаи.

Возведение в квадрат:.Возведение в степень нуля:0n = 0.
Возведение в куб:.Возведение в степень единицы:1n = 1.
Возведение в нулевую степень:a0 = 1, a  0.

Операции со степенями и их свойства Табл. 12

НаименованиеФормула
Умножение степеней с одинаковыми показателями(степень произведения)
Деление степеней с одинаковыми показателями(степень частного )
Умножение степеней с одинаковыми основаниями
Деление степеней с одинаковыми основаниями
Возведение степени в степень
Возведение в отрицательную степень

Извлечение корня

Обозначение:, где- знак корня,

aподкоренноевыражение,

n– показателькорня,

b– значениекорня,

-корень степениnиз числа a.

Равносильноеравенство: .

Частныеслучаи

Квадратный корень из числа а: .Кубический корень из числа а: .

Операции с корнями и их свойстваТабл. 13

НаименованиеФормула
Корень как степень с дробным показателем
Умножение корней с одинаковыми показателями (корень из произведения)
Деление корней с одинаковыми показателями (корень из частного)
Возведение корня в степень
Извлечение корня из корня
Корни с четным показателем, nN
Деление корней с разными показателями и с разными подкоренными числами
Корни с нечетным показателем, nN
Умножение корней с разными показателями и с разными подкоренными числами
Корень из степени как степень с дробным показателем

Многочлены

Многочленпо одной переменной –алгебраическое выражение вида

,

где- коэффициенты многочлена (),х –переменная.

Степеньмногочлена .Корень многочлена,если.

Многочленесть алгебраическая сумма одночленов:.

Разложениемногочлена на множители:

,

где- корни многочлена (возможно, комплексные).

Разложениемногочлена с действительными коэффициентамина линейные и неприводимые квадратныемножители с действительными коэффициентами:

,

где- кратность корня;- кратность квадратного множителя;.

Дробно-рациональнаяфункция (рациональная дробь) естьотношение многочленов

.

Рациональнаядробь –правильная,если .

Представлениерациональной дроби в виде суммы многочлена (целой части)и правильнойдроби (остатка) :

.

Типыпростейших дробей Табл. 14

I типII типIII типIV тип

Здесь,- неприводимый квадратный трёхчлен.

Разложениеправильной дроби со знаменателем в сумму простейших дробей:

,

где- действительные коэффициенты.

Источник: https://studfiles.net/preview/2925722/page:3/

Как сокращаются степени в дробях

Как сокращаются степени в дробях

Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а при делении степеней показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵.

Сокращение алгебраических (рациональных) дробей основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел.
Для 24 и 36 это — 12.

Как сокращаются отрицательные степени в дробях

Внимание

Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно.

В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение. Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны.

Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3 . Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x , на y или сразу на x·y .
Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1 , но этот общий множитель явно не присутствует в записи.

(2 / 3)3 = (2 / 3) · (2 / 3) · (2 / 3) = 23 / 33

Отрицательная степень

Если мы имеем дело с отрицательной степенью, то мы должны сначала “Перевернуть дробь”, а уж потом возводить её в степень по правилу написанному выше.

Буквенная степень

При работе с буквенными значениями такими как “x” и “у” возведение в степень происходит по тому же правилу что и раньше.

Также мы можем проверить себя возведя дробь ½ в 3 степень в результате чего мы получим ½ * ½ * ½ = 1/8 что в сущности тоже самое что и

Буквенное возведение в степень xy

Умножение и деление дробей со степенями

Если мы умножаем степени с одинаковыми основаниями, то само основание остается прежним, а показатели степеней мы складываем.

Выполните сокращение дроби .

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10 .

В этом случае имеем .

.

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует.

Как сокращаются степени в дробях отрицательные

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

Сокращать можем только множители! Чтобы сократить данную дробь, нужно стоящие в числителе и знаменателе многочлены разложить на множители. В числителе общий множитель a³, в знаменателе — a⁵. Вынесем их за скобки:

Множители — степени с одинаковым основанием a³ и a⁵ — сокращаем на a³. От a³ остается 1, мы ее не пишем, от a⁵ остается a². В числителе выражение в скобках можно разложить как разность квадратов:

Сокращаем дробь на общий делитель (1+a):

А как сокращать дроби вида

в которых стоящие в числителе и знаменателе выражения отличаются только знаками?

Примеры сокращения таких дробей мы рассмотрим в следующий раз.

Источник: http://realkonsalt.ru/kak-sokrashhayutsya-stepeni-v-drobyah

Сложные выражения с дробями. Порядок действий

Как сокращаются степени в дробях

8 августа 2011

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

  1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
  2. Затем — деление и умножение;
  3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Задача. Найдите значения выражений:

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2. Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3, имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Здесь и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

Это выражение можно прочитать по-разному:

  1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
  2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Источник: https://www.berdov.com/docs/fraction/complex_expressions/

Степени и корни

Как сокращаются степени в дробях

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным,

нулевым и дробнымпоказателем. О выражениях, не имеющих смысла.

  Операции со степенями. 

1.  При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

                                                a m ·  a n  =  a m + n.

2.  При делении степеней с одинаковым основанием их показателивычитаются.

3.  Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

                                                    ( abc… ) n = a n·b n ·c n

4.  Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b )n =  a n /  b n .

5.  При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

(a m ) n =  a mn .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р .  ( 2 ·3 ·5 / 15 )² = 2 ²· 3 ²·5 ²  / 15 ²  = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ   означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1.  Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2.  Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3.  При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степеньподкоренное число:

4.  Если увеличить степень корня в m  раз и одновременно возвести в m-ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:                                                                                           

5.   Если уменьшить степень корня в m  раз и одновременно извлечь корень m-ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:                                                                                             

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечинеотрицательного показателя:

Теперь формула  a m : a n = a m – n может быть использована не только при  m , большем, чем  n , но и при  m ,  меньшем, чем  n .  

П р и м е р .   a4:  a7 = a 4 – 7 = a -3 .

Если мы хотим, чтобы формула  a m : a n=a m была справедлива при m = n,нам необходимо определение нулевой степени.

 Степень с нулевым показателем.  Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы .  2 0 = 1,   ( 5 ) 0 = 1,   ( 3 / 5 ) 0 = 1.

Степень с дробным показателем.  Для того, чтобы возвести действительное число а в степень  m / n , нужно извлечь корень n–ой степени из m-ой степени этого числа а :

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

Случай 1. 

     где  a ≠ 0 ,  не существует.

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x, т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

Случай 2. 

      – любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x, то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x, что и требовалось доказать.

Случай 3.

Если считать, что правила действий со степенями распространяются и на степени с нулевым основанием, то

    0 0   – любое число.

Действительно, 

Р е ш е н и е .  Рассмотрим три основных случая:

                         1)   x = 0 это значение не удовлетворяет данному уравнению

                               ( Почему? ).         

                         2)   при x > 0  получаем:  x / x = 1,  т.e. 1 = 1, откуда следует,

чтоx – любое число; но принимая во внимание, что в

                               нашем случае x > 0 , ответом является  x > 0 ; 

                         3)   при x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

                                в этом случае нет решения.

                         Таким образом,  x > 0.

Назад

Источник: https://www.bymath.net/studyguide/alg/sec/alg17.html

Сокращение алгебраических дробей: правило, примеры

Как сокращаются степени в дробях

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Yandex.RTB R-A-339285-1

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3·x2+6·x·y6·x3·y+12·x2·y2  может быть сокращена на число 3, в итоге получим: x2+2·x·y6·x3·y+12·x2·y2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3·x+6·y6·x2·y+12·x·y2. Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3·x или любой из многочленов x+2·y, 3·x+6·y, x2+2·x·y или 3·x2+6·x·y.

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1.

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3·x23·y совершенно понятно, что общим множителем является число 3.

В дроби -x·y5·x·y·z3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y, или на х·y. И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x3-1×2-1  мы можем сократить на х-1, при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x3-x2+x-1×3+x2+4·x+4  подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она.

При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби.

Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

  • нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
  • в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a,b,c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a·cb·c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c. Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида ab .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

55=1;-23-23=1;xx=1;-3,2·x3-3,2·x3=1;12·x-x2·y12·x-x2·y;  

и т.п.

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 241260=2·2·2·32·2·3·3·5·7=23·5·7=2105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

241260=23·322·32·5·7=23-232-1·5·7=2105  

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 22·3). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

241260=23·322·32·5·7=2322·332·15·7=21·13·135=2105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Пример 1

Задана алгебраическая дробь -27·a5·b2·c·z6·a2·b2·c7·z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

-27·a5·b2·c·z6·a2·b2·c7·z=-3·3·3·a·a·a·a·a·b·b·c·z2·3·a·a·b·b·c·c·c·c·c·c·c·z==-3·3·a·a·a2·c·c·c·c·c·c=-9·a32·c6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

-27·a5·b2·c·z6·a2·b2·c7·z=-33·a5·b2·c·z2·3·a2·b2·c7·z=-332·3·a5a2·b2b2·cc7·zz==-33-12·a5-21·1·1c7-1·1=·-32·a32·c6=·-9·a32·c6 .

Ответ: -27·a5·b2·c·z6·a2·b2·c7·z=-9·a32·c6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Задана дробь 25·x0,3·x3. Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

25·x0,3·x3=25310·xx3=43·1×2=43·x2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК (5, 10) = 10. Тогда получим:

25·x0,3·x3=10·25·x10·0,3·x3=4·x3·x3=43·x2 .

Ответ: 25·x0,3·x3=43·x2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Пример 3

Задана рациональная дробь 2·a2·b2+28·a·b2+98·b2a2·b3-49·b3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2·a2·b2+28·a·b2+98·b2a2·b3-49·b3=2·b2·(a2+14·a+49)b3·(a2-49)

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2·b2·(a2+14·a+49)b3·(a2-49)=2·b2·(a+7)2b3·(a-7)·(a+7)

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b2·(a+7). Произведем сокращение:

2·b2·(a+7)2b3·(a-7)·(a+7)=2·(a+7)b·(a-7)=2·a+14a·b-7·b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2·a2·b2+28·a·b2+98·b2a2·b3-49·b3=2·b2·(a2+14a+49)b3·(a2-49)==2·b2·(a+7)2b3·(a-7)·(a+7)=2·(a+7)b·(a-7)=2·a+14a·b-7·b

Ответ: 2·a2·b2+28·a·b2+98·b2a2·b3-49·b3=2·a+14a·b-7·b.

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример 4

Дана алгебраическая дробь 15·x-27·x3·y5·x2·y-312 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

15·x-27·x3·y5·x2·y-312=x·15-27·x2·y5·x2·y-312

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x2·y. Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x·15-27·x2·y5·x2·y-312=x·-27·-72·15+x2·y5·x2·y-15·312==-27·x·-710+x2·y5·x2·y-710

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

-27·x·-710+x2·y5·x2·y-710=-27·x5=-235·x

Ответ: 15·x-27·x3·y5·x2·y-312=-235·x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Источник: https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/sokraschenie-algebraicheskih-drobej/

Адвокат Аврамов
Добавить комментарий